Dialogo con la Professoressa Paola Longo Bruno

Come aiutare i ragazzi a ricavare da soli le regole per molti problemi di geometria? Non è meglio che insegnargliele a memoria visto che alcune sono sempre le stesse? (ad es. il volume è sempre base per altezza). Oppure: qual è l’importanza delle regole e della loro memorizzazione in matematica?

La regola ha la funzione essenziale di abbreviare il cammino, senza dover sempre ripartire dall'inizio, una regola dovrebbe richiamare alla mente che è già stato fatto un percorso che ci assicura di poter dare per assodato un certo contenuto. L'ideale è impararle perché si ripete un certo numero di volte il percorso di ragionamento che permette di costruirle. Per aiutare i ragazzi a costruirle io credo che bisogna solo accompagnarli perché non fuggano, perché arrivino a sperimentare che possono farlo, mentre a scuola sono abituati a non pensare, a guardare fuori  di sé invece che dentro di sé. La memoria è utile, ma non bisogna appesantirla e non si deve opporre al ragionamento.

Non c’è qualche maniera per aiutare i ragazzi a risolvere i problemi facendo far loro solo il percorso logico?…  perché per loro molti problemi non sono risolti finché non hanno svolto tutti i calcoli, e lì si bloccano, perché svolgere i calcoli è noioso, ma mi sembra, a volte, che intuiscano il procedimento. 

È sbagliato cercare di far loro formalizzare solo il procedimento, solo i passi, magari con un diagramma di flusso?

Mi sembra che nel contenuto di questa domanda sia celata l'esigenza per cui in matematica sono state inventate le lettere. Con le lettere scrivo un procedimento a prescindere dal risultato numerico. Già nella scuola primaria si possono usare segni vari, un punto interrogativo, una crocetta, per indicare un vuoto da riempire, mediante un ragionamento che può consistere anche in un calcolo da inventare, per esempio le operazioni inverse si scoprono bene in questo modo.

Un'abitudine che dovrebbe essere sollecitata fin dall'inizio della scuola primaria è di dare le ragioni di tutte le scelte, di tutti i passaggi (senza scrivere molto). Il diagramma di flusso è utile se ciascuno impara a farselo da solo, non se viene fornito. A me piace molto.  Dal diagramma di flusso di un problema, se ne possono ottenere altri chiedendo di cambiare solo i dati, oppure si può chiedere di cambiare il risultato finale e ricostruire i dati necessari. Mi sembra molto utile riflettere sui tipi di problemi, cioè argomento per argomento cercare di classificare i tipi possibili di problemi.

Per puntare sul procedimento è anche molto utile abituarsi a fare delle rappresentazioni qualitative delle azioni di cui parla il testo.

Come far capire loro che la matematica non è solo calcolo? È giusto cercare di dire che la matematica non è solo calcolo? Cosa significa calcolare?

Forse il modo più semplice sarebbe di farlo capire agli insegnanti, se si potesse! Se gli insegnanti chiedono solo calcoli, noi comunque possiamo continuare a chiedere “perché?” ed a porre l'attenzione sull'io: non tanto  “perché si fa così?”, quanto “perché tu fai così?” oppure “perché puoi fare così?”

Calcolare è un modo “organizzato” di contare, sul versante dei problemi  è utile se ci sono situazioni adeguate e non banali. Le operazioni vanno imparate prima con numeri piccoli, in modo che si impari il significato e non serva l'algoritmo, poi quando i numeri aumentano si giustifica la necessità di un modo meccanico di svolgere il calcolo, proprio per potenziarlo. Per esempio per fare 3*5 posso fare 3+3+3+3+3=6+6+3=12+3=15, ma se devo fare 137*235, devo dire grazie a chi mi evita di fare tante somme. Naturalmente se passo ai decimali e devo fare 3,72*5,27 non vale più lo schema della somma ripetuta.

Il primo punto per evitare quella noia del calcolo, di cui parlate, è di capire che senso ha questa operazione, che è una nuova moltiplicazione e non più quella vecchia tra interi.

Osservazione. Tra numeri interi positivi (naturali) il prodotto a*b è sempre maggiore sia di a che di b; riprendiamo  3*5=15, verifichiamo che il risultato è maggiore di ciascuno dei fattori: 15>3 e 15>5; il significato di moltiplicazione come somma ripetuta ci assicura che questo non è un caso, ma che sarà sempre così tra numeri naturali, cioè interi positivi.

Passiamo ad altri campi numerici e osserviamo: 10*0.5=5, dove 5 < 10 (il risultato è più piccolo di un fattore); il quadrato di ½ è più piccolo di ½  (½ *1/2 = ¼). Questo fatto numerico si verifica molto bene interpretandolo sul grafico di una parabola y=x², mediante il punto A(1/2, ¼).

Un ragazzo una volta ha detto: “ma chi ha inventato la matematica”? Di botto uno di noi ha risposto: “no! È stata scoperta!” Ma c’è qualche vantaggio educativo e qualche strada da percorrere, pedagogicamente, in questo senso?

Prima di tutto chiaritevi quale differenza c'è per voi tra inventare e scoprire, mi sembra molto interessante. Saltiamo per ora la questione chiedendoci “come è nata” la matematica. Vedo due tipi di risposte: nella storia (è nata)e nella singola persona (nasce). In entrambi i casi nasce da problemi che chiedono risposte, per arrivare alle quali, viene messa in opera la creatività umana. Il patrimonio storico ci viene tramandato, ma ciascuno di noi deve farlo rinascere in sé.  Alcuni esempi storici non guasterebbero.

Spesso i ragazzi molto meccanicamente risolvono i problemi per arrivare al risultato finale il più in fretta possibile e si bloccano se il risultato non è un numero intero, ha delle virgole, è in qualche modo “strano”. Non è meglio insistere sul percorso o dar loro, specialmente al doposcuola, non solo i problemi del libro di testo che adoperano a scuola, ma magari problemi inventati da noi/da loro senza che il risultato numerico sia noto?

Si tratta di abitudini di cui è meglio liberarsi in fretta, però ci vuole un equilibrio su quanto farli lavorare.    Di per sé i numeri  non sono mai “strani”, ma spesso è utile separare le situazioni in cui si vuole far risaltare il procedimento (numeri banali) e quelle in cui si vuole fare pratica del calcolo. Certo che poi bisogna creare un ponte tra queste situazioni.

C’è qualche aspetto della matematica delle elementari o delle medie nel quale si possa insegnare ai ragazzi a procedere da soli o a scoprire da soli qualche regola? Non sarebbe giusto?

In tutti gli argomenti si può e si dovrebbe fare così, la scoperta avviene attraverso problemi ben programmati. Il luogo ideale è la classe, dove ciascuno può lavorare da solo e poi raccontare agli altri, nel confronto con i compagni vengono fuori osservazioni, gli errori diventano risorse, strumenti di lavoro per fare dei passi di conoscenza.  Fuori della classe, un adulto che accompagna può far fare delle esperienze di questo tipo, che sono fondamentali per demolire pregiudizi ed abitudini scolastiche.

Però ci saranno anche insegnanti bravi a cui dobbiamo dare una mano, rinforzando i ragazzi e facendo capire l'importanza di seguire attentamente il lavoro in classe. Oltre a scoprire le regole, è essenziale che i ragazzi conoscano i significati, su questo potete fare un grande recupero con tutti.

C’è qualche “linea comune” da tenere di fronte alla diversità dei metodi degli insegnanti dei nostri alunni e rispetto al nostro modo di porci nei confronti dei ragazzi?

Certo, siate liberi e spontanei, come siete di natura e continuate a chiedere “perché”. La linea comune è la ragione del ragazzo, favorire che l'io si metta in azione, che sia curioso, che si faccia delle domande, che impari ad usare il testo. Per promuovere la ragione dell'altro, voi dovete essenzialmente preoccuparvi di essere semplici, di chiedere, evitare di pensarvi come quelli che devono sapere tutto. Site invece quelli che chiedono tutto in modo che i ragazzi spiegandovi tutto si pongano le giuste domande.

Può essere utile selezionare dei problemi “tipici” ed avere un testo “nostro”?

Certamente, selezionate e conservate, nel tempo vi costruirete uno strumento validissimo, aggiungendo anche osservazioni, scoperte vostre, ogni cosa utile.